Question

【题目】设椭圆的离心率是，过点的动直线于椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得弦长为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在与点不同的定点，使得直线和的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，结合的关系，解方程可得进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）假设存在定点，使得直线的倾斜角互补，可设点的坐标为，即有，运用直线的斜率公式，化简整理，结合恒成立问题解法，即可得到所求定点．

（Ⅰ）由已知可得，椭圆经过点，

因此，,解得，

所以椭圆E方程为；

（Ⅱ）设点的坐标为，

当直线与x轴垂直时，直线与的倾斜角均为，满足题意，

此时，且；

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，

联立，得，

其判别式，

，，

直线的倾斜角互补，

，

∴，

即，

整理得，

把，代入得，

所以，即，

综上所述存在与点不同的定点满足题意．