【题目】如图所示，在四边形
中：
，
，
，
，
．点
为四边形的外接圆劣弧
（不含
）上一动点．
（1）证明：
；
（2）若
，设
，
，求
的最小值．
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
（1）由余弦定理
求得
，再根据
，求得
，最后根据三边长度判断是否满足勾股定理；
（2）设
交
于
，作
平行于
且交
于
，则四边形
为平行四边形，由平面向量基本定理和正弦定理表示
，再根据三角恒等变形求
的最小值.
解：（1）在
中，由余弦定理知：
所以
，又因为，所以
所以分别为方程
的两根，
因为
，所以
所以
，所以
（2）因为，所以
是四边形
的外接圆的直径，
所以四边形为矩形，连接
，
设交于，作平行于且交于，则四边形为平行四边形，
所以
，又因为
，
由平面向量基本定理知：
，所以
在
中，因为
，
，所以
由正弦定理知：
，所以
在
中，
所以，
所以
因为，所以
，所以
所以，当
时，
取最小值，最小值为．
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【题目】在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
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【题目】已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，的导函数
的图象如图所示，给出关于的下列命题：
①函数
在
处取得极小值;
②函数在
是减函数，在
是增函数；
③当
时，函数
有4个零点；
④如果当
时，的最大值是2，那么
的最小值为0.
其中所有的正确命题是__________(写出正确命题的序号).
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【题目】甲、乙两台机床同时生产一种零件，在
天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲：
；乙：
．
（1）分别求两组数据的众数、中位数；
（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．
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【题目】在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=
DC， 
.
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求证：AE⊥平面PDC.
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【题目】某大学志愿者协会有
名同学,成员构成如下表,其中表中部分数据不清楚,只知道从这
名同学中随机抽取一位,抽到该名同学为“数学专业”的概率为
.
性别 专业 | 中文 | 英语 | 数学 | 体育 |
男 |
|
|
|
|
女 |
|
|
|
|
现从这
名同学中随机抽取
名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）求选出的
名同学恰为专业互不相同的男生的概率
（Ⅲ）设
为选出的
名同学中“女生或数学专业”的学生的人数,求随机变量
的分布列及其数学期望
.
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【题目】数列{an}为递增的等差数列，数列{bn}满足bn＝anan+1an+2（n∈N*），设Sn为数列{bn}的前n项和，若a2
，则当Sn取得最小值时n的值为（ ）
A.14B.13C.12D.11
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【题目】设椭圆
的离心率是
，过点
的动直线
于椭圆相交于
两点，当直线平行于
轴时，直线被椭圆
截得弦长为
．
（Ⅰ）求
的方程；
（Ⅱ）在
上是否存在与点
不同的定点
，使得直线
和
的倾斜角互补？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．
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