Question

14．已知△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，问y=cos²A+cos²C是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出最值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由等差数列可得A+C=120°，则C=120°-A，使用降次公式化简y得到关于A的三角函数，根据A的范围判断函数是否有最值．

解答 解：∵A、B、C成等差数列，∴A+C=2B．
∵A+B+C=180°，∴B=60°．
∴C=120°-A．
∴y=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（120°-A）
=$\frac{1}{2}$（1+cos2A）+$\frac{1}{2}$（1+cos（240°-2A））
=1+$\frac{1}{4}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A
=1+$\frac{1}{2}$cos（2A+60°）．
不妨设A≤B≤C，则0＜A≤60°．
∴60°＜2A+60°≤180°．
∴当2A+60°=180°时，y取得最小值1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
由于2A+60°取不到60°，∴y没有最大值．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值，属于中档题．