Question

1．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的定义域为R，值域为[-4，8]，图象经过点（0，5），直线x=$\frac{π}{6}$是其图象的一条对称轴，且f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减．
（I）求函数f（x）的表达式．
（Ⅱ）已知α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），且f（α）=4，求sinα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的值域，定点，对称，和单调性的关系求出A，B，ω 和φ的值即可．
（Ⅱ）利用两角和差的余弦公式结合三角函数的倍角公式进行化简即可．

解答 解：（I）∵函数的值域为[-4，8]，
∴A+B=8，-A+B=-4，
得 A=6，B=2，
此时f（x）=6sin（ωx+φ）+2，
∵图象经过点（0，5），
∴f（0）=6sinφ+2=5，
即sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+2，
∵直线x=$\frac{π}{6}$是其图象的一条对称轴，且f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减．
∴当x=$\frac{π}{6}$时，函数取得最大值，
即$\frac{π}{6}$•ω+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，则ω=12k+2，
∵f（x）在（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∴$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$≤$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，
即$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{ω}$，
则ω≤6，
∵ω=12k+2，
∴当k=0时，ω=2，
则函数f（x）的表达式f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2．
（Ⅱ）已知α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），且f（α）=4，
∴f（α）=6sin（2α+$\frac{π}{6}$）+2=4，
即sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．
∵α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴2α∈（$\frac{π}{3}$，π），
2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$），
∵sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$＞0，
∴2α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{2}$，π），
则cos（2α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=-$\sqrt{\frac{8}{9}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则cos2α=cos（2α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$，
∵cos2α=1-2sin²α=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$，
∴2sin²α=1-$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$=$\frac{5-2\sqrt{6}}{6}$，
则sin²α=$\frac{5-2\sqrt{6}}{12}$=$\frac{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）^{2}}{12}$，
则sinα=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{3-\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查三角函数的解析式的求解以及三角函数值的计算，根据三角函数的图象和性质求出A，B，ω和φ的值是解决本题的关键．综合性较强．