【题目】如图,在半径为的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD(点A、B在直径上,点C、D在半圆周上),并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取?
(2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?
【答案】(1)当截取的矩形铁皮的一边为
为时,圆柱体罐子的侧面积最大.
(2)当截取的矩形铁皮的一边为
为时,圆柱体罐子的体积最大.
【解析】解:(1)如图,设圆心为O,连结,设
,
法一 易得,
,故所求矩形
的面积为
(
)
(当且仅当,
(
)时等号成立) 此时
;
法二 设,
; 则
,
,
所以矩形的面积为
,
当,即
时,
(
)此时
;
(2)设圆柱的底面半径为,体积为
,由
得,
,
所以,其中
,
由得
,此时,
在
上单调递增,在
上单调递减, 故当
时,体积最大为
,
答:(1)当截取的矩形铁皮的一边为
为时,圆柱体罐子的侧面积最大.
(2)当截取的矩形铁皮的一边为
为时,圆柱体罐子的体积最大.
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【题目】已知x,y满足约束条件 ,当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2
时,a2+b2的最小值为( )
A.5
B.4
C.
D.2
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【题目】已知 ,
的夹角为120°,|
|=2,|
|=3,记|
=3
﹣2
,
=2
+k
.
(1)若 ⊥
,求实数k的值.
(2)是否存在实数k,使得 ∥
?说明理由.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ) 部分图象如图所示.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及解析式;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)﹣cos2x,求函数g(x)在区间 上的最大值和最小值.
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【题目】已知点A(﹣ ,0),B(
,0),P是平面内的一个动点,直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是﹣
.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,当线段MN的中点在直线x+2y=0上时,求直线l的方程.
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【题目】设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn , 等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1 , b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式
(2)当d>1时,记cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】已知向量 =(cosα,sinα),
=(cosβ,sinβ),|
﹣
|=
.
(1)求cos(α﹣β)的值;
(2)若0<α< ,﹣
<β<0,且sinβ=﹣
,求sinα的值.
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