Question

已知函数f（x）=x²-2ax+2，当x₀∈[1，+∞）时，恒有f（x₀）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先求出二次函数f（x）的对称轴x=a，所以讨论a≤1和a＞1两种情况，根据二次函数的单调性或取得顶点情况求出f（x）在[1，+∞）的最小值，所以只要该最小值大于0即可，这样便可求出实数a的取值范围．

解答： 解：f（x）的对称轴为x=a；
∴（1）a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
∴f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（1）=3-2a；
根据题意则有：3-2a＞0，a＜

3

2

；
∴此时a≤1；
（2）a＞1时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（a）=-a²+2；
∴便有-a²+2＞0；
解得-

2

＜a＜

2

；
∴此时1＜a＜

2

；
综上得实数a的取值范围为（-∞，

2

）．

点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及二次函数的顶点，二次函数的最值．