Question

过直线上的动点作抛物线的两条切线，其中为切点．
⑴若切线的斜率分别为，求证：为定值；
⑵求证：直线恒过定点．

Answer 1

⑴为定值．⑵直线恒过定点．

本试题主要是考查了直线与抛物线的位置关系的运用以及直线方程的求解的综合运用。
（1）不妨设，．利用导数的几何意义，得到直线的斜率，运用斜率关系式证明结论。
（2）证明直线恒过定点，关键是求解直线方程，直线的方程为
即，由于，所以直线方程化为，
所以，直线恒过定点
⑴不妨设，．
由，当时，，，所以．同理．……2分
由，得．同理．
所以，是方程的两个实数根，所以，
所以为定值．…………………………………………………………5分
⑵直线的方程为．………………………………………7分
即，
即，由于，所以直线方程化为，
所以，直线恒过定点．……………………………………………………10分