Question

13．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，直线l的倾斜角为45°且经过点P（-1，0）．
（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于两点A，B，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据直线方程与极坐标方程的转化，即可求得曲线C的极坐标方程；
（2）求得直线l的参数方程，代入圆的方程，根据韦达定理及焦点弦公式，即可求得$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（1）将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入（x-1）²+（y-1）²=2，
∴曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）------（5分）
（2）因为直线l的倾斜角为45°且经过点P（-1，0）所以l参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入（x-1）²+（y-1）²=2，
化简得t²-3$\sqrt{2}$t+3=0
所以t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=3  故$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值$\sqrt{2}$．------（10分）

点评 本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的转化，及直角坐标方程与极坐标方程的转化，一元二次方程根和系数的关系，考查计算能力，属于中档题．