Question

12．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，M，N分别为棱DD₁，AB，BC的中点．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）求证：PB⊥平面MNB₁．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-MN-B的正切值．
（2）推导出$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{MN}$=0，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{M{B}_{1}}$=0，由此能证明PB⊥平面MNB₁．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则M（2，1，0），N（1，2，0），B₁（2，2，2），B（2，2，0），
$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（0，1，2），$\overrightarrow{MN}$=（-1，1，0），
设平面B₁MN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{M{B}_{1}}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=-x+y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，-1），
平面BMN的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角B₁-MN-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tan$θ=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}$=2$\sqrt{2}$．
∴二面角B₁-MN-B的正切值为2$\sqrt{2}$．
证明：（2）P（0，0，1），$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-1），
$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{MN}$=0，$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{M{B}_{1}}$=0，
∴PB⊥MN，PB⊥MB₁，
∵MN∩MB₁=M，
∴PB⊥平面MNB₁．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．