Question

7．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
（1）若该函数为奇函数，求a；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若f（x）＞1-x在[0，+∞]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函数的定义列式求得a值；
（2）函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$为（-∞，+∞）上的增函数．利用函数的单调性定义证明；
（3）把f（x）＞1-x在[0，+∞）上恒成立，转化为a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$＞1-x在[0，+∞）上恒成立，即a＞$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x在[0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x，利用导数求其最大值得a的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=$a-\frac{2}{{2}^{-x}+1}+a-\frac{2}{{2}^{x}+1}=2a-\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}-\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$2a-\frac{2（{2}^{x}+1）}{{2}^{x}+1}=2（a-1）=0$恒成立，得a=1；
（2）函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$为（-∞，+∞）上的增函数．
证明：设x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$a-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-a+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}=\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，$（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）＞0$，
则$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＜0$，∴f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$为（-∞，+∞）上的增函数；
（3）若f（x）＞1-x在[0，+∞）上恒成立，则a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$＞1-x在[0，+∞）上恒成立，
即a＞$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x在[0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x，则g′（x）=$\frac{-{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}-1$＜0，
∴g（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x在[0，+∞）上为减函数，则f（x）_max=g（0）=2．
∴a＞2．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查了恒成立问题的求解方法，训练了分离变量法，是中档题．