Question

11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设若sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，α∈（0，π），求$\frac{sin（-α）sin（π+α）+sinαcos（π-α）}{1+tan（3π+α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．
（2）由条件求得sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα-cosα 的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．

解答 解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），
可得sinφ=1，∴φ=$\frac{π}{2}$，．
∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）∵sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，α∈（0，π），即 sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，平方可得sinαcosα═-$\frac{5}{18}$，
∴α为钝角，sinα-cosα=$\sqrt{{（sinα-cosα）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
∴$\frac{sin（-α）sin（π+α）+sinαcos（π-α）}{1+tan（3π+α）}$=$\frac{-sinα•（-sinα）+sinα•（-cosα）}{1+tanα}$=$\frac{sinαcosα•（sinα-cosα）}{cosα+sinα}$
=$\frac{-\frac{5}{18}•\frac{\sqrt{14}}{3}}{\frac{2}{3}}$=-$\frac{5}{36}$$\sqrt{14}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．