Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx
（1）若sinx=

4

5

(

π

2

＜x＜π)，求f（x）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用两角和的正弦公式展开，然后，结合所给条件进行求解；
（2）利用三角函数的图象与性质求解．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2cosx
=

3

sinx-cosx
∵sinx=

4

5

(

π

2

＜x＜π)，
∴cosx=-

1-sin2x

=-

3

5

，
∴f（x）=

3

×

4

5

-（-

3

5

）
=

3+4 3

5

（2）根据（1）得f（x）=2sin（x-

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=2π，
令-

π

2

+2kπ≤x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴-

π

3

+2kπ≤x-

π

6

≤

2

3

π+2kπ，
∴单调增区间[-

π

3

+2kπ，

2

3

π+2kπ]，（k∈Z）．

点评：本题重点考查了两角和与差的三角函数公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．