Question

已知一动圆与圆x²+y²+6x+5=0外切，同时与圆x²+y²-6x-91=0内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线；
（2）直线y=x+1与M的轨迹相交于不同的两点P、Q，求PQ的中点的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．
（2）联立直线与椭圆的方程，设出交点坐标，利用韦达定理求出中点坐标即可．

解答： 解：（1）圆x²+y²+6x+5=0的圆心为A（-3，0），半径为2；
圆x²+y²-6x-91=0的圆心为B（3，0），半径为10；
设动圆圆心为M（x，y），半径为x；
则MA=2+r，MB=10-r；
于是MA+MB=12＞AB=6
所以，动圆圆心M的轨迹是以A（-3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．
a=6，c=3，b²=a²-c²=27；
所以M的轨迹方程为

x2

36

+

y2

27

=1
（2）由

y=x+1 x2 36 + y2 27 =1

，消去y得：7x²+8x-104=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ中点为N（x₀，y₀）；则x1+x2=-

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

4

7

；
∴y₀=x₀+1=

3

7

所以PQ的中点坐标为(-

4

7

，

3

7

)．

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．