Question

．（本小题满分12分）如图所示，矩形ABCD的边AB=，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据： ①；②；③；建立适当的空间直角坐标系，
（I）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，可能取所给数据中的哪些值?请说明理由；
（II）在满足（I）的条件下，若取所给数据的最小值时，这样的点Q有几个? 若沿BC方向依次记为，试求二面角的大小.

Answer 1

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
，，，，

设(0≤x≤2)， …………………2分
∵∴由PQ⊥QD得
。
∵……………4分
∴在所给数据中，可取和两个值. ……6分

(II) 由(Ⅰ)知，此时或，即满足条件的点Q有两个，…8分
根据题意，其坐标为和，……9分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角.……………………10分
由=，
得∠Q₁AQ₂=30°，∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小为30°.………………………12分

略