Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a+b=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x+y-m=0（m是正常数）与椭圆C交于P、Q两点，当$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{12}{5}$时，求直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c+a=3，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立化为5x²-8mx+4m²-4=0，利用△＞0，根与系数的关系及其数量积运算性质$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{12}{5}$，解出即可得出．

解答 解：（1）由已知$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c+a=3，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为5x²-8mx+4m²-4=0，
由△＞0，得64m²-20（4m²-4）＞0，即m²＜5，
∵m＞0，∴$0＜m＜\sqrt{5}$．
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$．
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{12}{5}$，∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{12}{5}$，
又y₁y₂=（-x₁+m）（-x₂+m）=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²，
∴2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=$\frac{12}{5}$，
$2×\frac{4{m}^{2}-4}{5}$-$\frac{8{m}^{2}}{5}$+m²=$\frac{12}{5}$，
解得m²=4，
又$0＜m＜\sqrt{5}$．
∴m=2，
∴PQ的方程为x+y-2=0．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线与椭圆相交问题、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．