Question

8．已知函数f（x）=2x-$\frac{a}{x}$+blnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为3x+y-8=0．
（Ⅰ）求a，b的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-$\frac{3}{x}$，试问过点（2，2）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据导数的几何得到f′（1）=-3，f（1）=5，代入求出a，b的值，在定义域内解不等式f′（x）＞0，可求单调增区间；
（Ⅱ）设过点（2，2）与曲线g （x）相切的切线的切点坐标为（x₀，y₀），则由切线过点（2，2）可得y₀-2=g′（x₀）（x₀-2），可化为lnx₀+$\frac{2}{x_0}$-2=0，令h（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-2，问题转化为h（x）在（0，+∞）上的零点个数，由零点判定定理可得结论．

解答 （Ⅰ）解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2+$\frac{a}{x^2}$+$\frac{b}{x}$．
依题设，f（1）=5，f′（1）=-3，
∴a=-3，b=-2，
∴f′（x）=2-$\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{2{x^2}-2x-3}}{x^2}$，
令f′（x）＞0，又x＞0，
∴x＞$\frac{{1+\sqrt{7}}}{2}$．
∴函数的单调增区间为（$\frac{{1+\sqrt{7}}}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-$\frac{3}{x}$=2x-2lnx，
∴g′（x）=2-$\frac{2}{x}$．
设过点（2，2）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
则y₀-2=g′（x₀）（x₀-2），即2x₀-2lnx₀-2=（2-$\frac{2}{x_0}$）（x₀-2），
∴lnx₀+$\frac{2}{x_0}$-2=0，
令h（x）=lnx+$\frac{2}{x}$-2，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
又h（$\frac{1}{2}$）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．

点评 本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，解决（Ⅱ）问的关键构造函数转化为函数零点问题，属于中档题．