Question

1．若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：?x∈D，点（x，g（x）） 与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，f（x）=3x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{10}$]
• B． [-$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$]
• C． [-3，$\sqrt{10}$]
• D． [$\sqrt{10}$，+∞）

Answer 1

分析 根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可．

解答 解：∵x∈D，点（x，g（x）） 与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，
∴$\frac{g（x）+h（x）}{2}$=f（x），
即2f（x）=g（x）+h（x）
∵h（x）≥g（x）恒成立，
∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），
即f（x）≥g（x）恒成立，
作出g（x）和f（x）的图象，
若h（x）≥g（x）恒成立，
则h（x）在直线f（x）的上方，
即g（x）在直线f（x）的下方，
则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=3x+b的距离d≥1，
即d=$\frac{|0-0+b|}{\sqrt{{3}^{2}+1}}$=$\frac{|b|}{\sqrt{10}}$≥1，即|b|≥$\sqrt{10}$，
则b≥$\sqrt{10}$或b≤-$\sqrt{10}$（舍），
即实数b的取值范围是[$\sqrt{10}$，+∞），
故选：D

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．