Question

17．北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85，100]之间为体质优秀；在[75，85]之间为体质良好；在[60，75]之间为体质合格；在[0，60]之间为体质不合格．
现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如图：
（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；
（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．
（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；
（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （I）根据茎叶图可得优秀率，从而可得总体中优秀学生数；
（II）（i）先计算按分层抽样方法，抽取的优秀学生数和良好学生数，再利用排列组合知识计算从这5名学生中选出3人的方法种数，计算选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的选法种数及选出的3名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的选法种数，代入古典概型概率公式计算即可．
（ii）由题意X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由茎叶图知：体质优秀的数据有10个，
∴优秀率为$\frac{1}{3}$，
∴总体中优秀学生数为300×$\frac{1}{3}$=100人．
（II）样本中体质良好的学生数为15，
∴按分层抽样方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，则抽取的优秀学生数为2，良好学生数为3，
（i）从这5名学生中选出3人，共有${C}_{5}^{3}$=10种选法，
其中选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的选法有${C}_{2}^{1}×{C}_{3}^{2}$+${C}_{2}^{2}×{C}_{3}^{1}$=9种，
∴选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为p=$\frac{9}{10}$．
（ii）5名学生中优秀学生数为2，良好学生数为3，从中选3人，
记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，由X的可能取值为1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{6}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

E（X）=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{6}{10}+3×\frac{1}{10}$=1.8．

点评 本题考查了古典概型的概率计算及计数原理应用，考查了组合数计算公式，综合性较强，解题的关键是利用排列组合知识求得符合条件的基本事件个数．