Question

（本小题满分12分）已知函数（a∈R且）．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围.

Answer 1

(1) 当a＞0时，的单调增区间为（0,1），单调减区间为（1，＋∞）
当a＜0时，的单调增区间为（1，＋∞），单调减区间为（0,1）
(2)

解析试题分析：解：(本小题满分12分)
（1）＝．　∵x＞0， ………………………1分
当a＞0时，的单调增区间为（0,1），单调减区间为（1，＋∞）……………2分
当a＜0时，的单调增区间为（1，＋∞），单调减区间为（0,1）．……………4分
（2）∵函数y＝在点（2，处的切线斜率为1，
∴，　解得a＝－2．………………………………5分
∴，　　∴．
∴．……………………………7分
令，即，　　∵△＝，
∴方程有两个实根且两根一正一负，即有且只有一个正根．…………8分
∵函数在区间（t，3）（其中t∈[1，2]）上总不是单调函数，
∴方程在上有且只有一个实数根．………………………9分
又∵，∴，．
∴，且．…………………………………………10分
∵，∴，
令，则，即在上单调递减．
∴，即．
∴．
综上可得，m的取值范围为．…………………………………12分
考点：本试题考查了导数的运用
点评：解决该试题的关键是能理解对于导数的符号，运用分类讨论的思想来求解函数的单调性。同时对于函数不单调的处理，可以转换为函数单调时的参数的范围，然后利用补集的思想求解结论，属于中档题。