Question

10．已知函数f（x）=lnx+ax²-ax，其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的切线的斜率，从而求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性结合函数的极值点的个数，求出a的范围即可；

解答 解：（1）当a=1，f（x）=lnx+x²-x，则f（1）=0，
又f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x，则切线的斜率k=3，
所以函数f（x）在x=1处的切线方程为y=3x-3．              
（2）f（x）=lnx+ax²-ax，x＞0，则f′（x）=$\frac{2{ax}^{2}-ax+1}{x}$，
令t（x）=2ax²-ax+1，
①若a=0，则t（x）=2ax²-ax+1=1＞0，
故f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，+∞）上无极值点，
故a=0不符题意，舍去；
②若a＜0，t（x）=2ax2-ax+1=2a（x-$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{1}{8}$a，
该二次函数开口向下，对称轴x=$\frac{1}{4}$，t（$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{8}$a＞0，
所以t（x）=0在（0，+∞）上有且仅有一根x₀=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，故f'（x₀）=0，
且当0＜x＜x₀时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x₀）上单调递增；
当x＞x₀时，t（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）在（x₀，+∞）上单调递减；
所以a＜0时，函数f（x）在定义域上有且仅有一个极值点x₀=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，符合题意；                                                     
③若a＞0，t（x）=2ax2-ax+1=2a（x-$\frac{1}{4}$）²+1-$\frac{1}{8}$a，该二次函数开口向上，对称轴x=$\frac{1}{4}$．
（ⅰ）若t（$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{8}$a≥0，即0＜a≤8，t（x）≥t（$\frac{1}{4}$）≥0，
故f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在（0，+∞）上无极值点，
故0＜a≤8不符题意，舍去；                                                
（ⅱ）若t（$\frac{1}{4}$）=1-$\frac{1}{8}$a＜0，即a＞8，又t（0）=1＞0，
所以方程t（x）=0在（0，+∞）上有两根x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4a}$，
故f'（x₁）=f'（x₂）=0，
且当0＜x＜x₁时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，x₁）上单调递增；
当x₁＜x＜x₂时，t（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）在（x₁，x₂）上单调递减；
当x＞x₂时，t（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）在（x₂，+∞）上单调递增；
所以函数f（x）在（0，+∞）上有两个不同的极值点，故a＞8不符题意，舍去，
综上所述，实数a的取值范围是a＜0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．