Question

20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=a${x}^{3}-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3e}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间和最小值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；
（Ⅱ）分别求出导数，设公切点处的横坐标为x₀，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，
由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{e}$；由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
即有f（x）的增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞），
f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）因为f'（x）=lnx+1，g′（x）=3ax²-$\frac{1}{2}$，
设公切点处的横坐标为x₀，
则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx₀+1）x-x₀，
与g（x）相切的直线方程为：y=（3ax₀²-$\frac{1}{2}$）x-2ax₀³-$\frac{2}{3e}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1+ln{x}_{0}=3a{{x}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}}\\{-{x}_{0}=-2a{{x}_{0}}^{3}-\frac{2}{3e}}\end{array}\right.$，
解之得x₀lnx₀=-$\frac{1}{e}$，
由（1）知x₀=$\frac{1}{e}$，
所以a=$\frac{{e}^{2}}{6}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．