Question

11．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1处的极值为10．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+2m=0在[0，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出检验即可；
（2）求出函数的解析式，求出函数的单调区间，问题转化为y=f（x）和y=-2m的图象在[0，2]有交点，根据f（x）的范围，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
若f（x）在x=1处的极值为10，
则$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{1+a+b{+a}^{2}=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
经检验，a=4，b=-11；
（2）由（1）f（x）=x³+4x²-11x+16，
f′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1），
若关于x的方程f（x）+2m=0在[0，2]上有解，
则y=f（x）和y=-2m的图象在[0，2]有交点，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在[0，1）递减，在（1，2]递增，
故f（x）_min=f（1）=10，而f（0）=16，f（2）=18，
故x∈[0，2]时，f（x）∈[10，18]，
故10≤-2m≤18，解得：m∈[-9，-5]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．