Question

15．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有f（x）+$\frac{1}{2}$x²+ax+$\frac{3}{2}$≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，讨论f′（x）的符号，求出函数f（x）的单调区间，从而求得函数f（x）得极值；
 （Ⅱ）当x$∈[\frac{1}{e}，e]$时，由f（x）+$\frac{1}{2}$x²+ax+$\frac{3}{2}$≤0成立，得a$≤-lnx-\frac{x}{2}-\frac{3}{2x}$ 
记g（x）=-lnx-$\frac{x}{2}$-$\frac{3}{2x}$，x$∈[\frac{1}{e}，e]$，
则g′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x+3）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
 利用导数求出g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值即可求得实数a的取值范围

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{e}$，-----------------------------------------（2分）
当0$＜x＜\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，当x$＞\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，----------------------------------------（4分）
∴函数f（x）无极大值，
当x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在（0，+∞）有极小值，f（x）_极小=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，--------------------------（5分）
（Ⅱ）当x$∈[\frac{1}{e}，e]$时，由f（x）+$\frac{1}{2}$x²+ax+$\frac{3}{2}$≤0成立，得a$≤-lnx-\frac{x}{2}-\frac{3}{2x}$，--------------（6分）
记g（x）=-lnx-$\frac{x}{2}$-$\frac{3}{2x}$，x$∈[\frac{1}{e}，e]$，
则g′（x）=-$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2{x}^{2}}$=-$\frac{（x+3）（x-1）}{2{x}^{2}}$，
当x∈（$\frac{1}{e}$，1）时，得g′（x）＞0，当x∈（1，e）时，g′（x）＜0
∴g（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，---------------------------------------------------（9分）
又（$\frac{1}{e}$）=1-$\frac{1}{2e}$-$\frac{3e}{2}$，g（e）=-1-$\frac{e}{2}$-$\frac{3}{2e}$，
∵g（$\frac{1}{e}$）-g（e）=2+$\frac{1}{e}-e$＜0，∴g（$\frac{1}{e}$）＜g（e），-------------------------------------------------（10分）
故g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值为g（$\frac{1}{e}$），故只需a$≤g（\frac{1}{e}$），
即实数a的取值范围是（-∞，1-$\frac{1}{2e}$-$\frac{3e}{2}$]．---------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了导数的应用，考查了利用导数处理含参函数恒成立问题，属于中档题．