Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C上不同的两点M，N满足$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=0（其中O为坐标原点），求证：$\frac{1}{|OM{|}^{2}}$$+\frac{1}{|ON{|}^{2}}$为定值．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的离心率公式，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得5m²=4（k²+1），利用点到直线的距离公式及三角形面积公式，即可求得$\frac{1}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$的值．

解答 解：（1）由题意的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
将点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入椭圆方程：$\frac{2}{{4b}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=1，
∴椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线MN的方程y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$-km×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+m²=0
整理得：5m²=4（k²+1）
原点O到直线的距离为d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由$\frac{1}{2}$×丨$\overrightarrow{OM}$丨×丨$\overrightarrow{ON}$丨=$\frac{1}{2}$丨MN丨×d，
则$\frac{1}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}+丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}×丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{丨MN{丨}^{2}}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}×丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{丨\overrightarrow{OM}{丨}^{2}}$+$\frac{1}{丨\overrightarrow{ON}{丨}^{2}}$=$\frac{5}{4}$为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及向量数量积的坐标运算，考查计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．