Question

7．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足S_n-2a_n=n-4．
（1）证明{S_n-n+2}为等比数列；
（2）设数列{S_n}的前n项和T_n，比较T_n与2ⁿ⁺²-5n的大小．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]，即可证明，
（2）利用分组求和求出T_n，再利用作差法比较大小即可

解答 解：（1）证明：注意到n=1时，S₁-1+2=4，
n≥2时原式转化为：S_n=2（S_n-S_n-1）=n-4，即S_n=2S_n-1-n+4，
所以S_n-n+2=2[S_n-1-（n-1）+2]，
所以{S_n-n+2}为首项为4，公比为2等比数列．
（2）由（1）知：S_n-n+2=2ⁿ⁺¹，所以S_n=2ⁿ⁺¹+n-2，
于是T_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+（1+2+…+n）-2n
=$\frac{{4（1-{2^n}）}}{1-2}+\frac{n（n+1）}{2}-2n$=$\frac{{{2^{n+3}}+{n^2}-3n-8}}{2}$．
所以${T_n}-{2^{n+2}}+5n$=$\frac{{{2^{n+3}}+{n^2}-3n-8}}{2}-{2^{n+2}}+5n$=$\frac{1}{2}（n-1）（n+8）$，
因为n≥1，所以${T_n}-{2^{n+2}}+5n≥0$即${T_n}≥{2^{n+2}}-5n$，当且仅当n=1时取等号．

点评 本题主要考查等比数列的求和与等比关系的确定，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质，并熟练掌握数列的求和公式，属于中档题．