Question

17．数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，并且$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（n≥2），则数列{a_n}的第100项为（　　）

• A． $\frac{1}{{{2^{100}}}}$
• B． $\frac{1}{{{2^{50}}}}$
• C． $\frac{1}{100}$
• D． $\frac{1}{50}$

Answer 1

分析 由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（n≥2），可得：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，可得数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，利用通项公式即可得出．

解答 解：由$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=2（n≥2），可得：$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
可得数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$．
解得a_n=$\frac{2}{n}$．
∴a₁₀₀=$\frac{2}{100}$=$\frac{1}{50}$．
故选：D．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．