Question

5．已知抛物线方程为y²=4x，点Q的坐标为（2，3），P为抛物线上动点，则点P到准线的距离与到点Q的距离之和的最小值为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的定义，点P到点A（2，3）的距离与P到该抛物线准线的距离之和等于点P到点A（2，3）的距离与P到焦点F的距离之和，当且仅当三点A、P、F共线时，点P到点A（2，3）的距离与P到该抛物线准线的距离之和最小．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
根据抛物线的定义，点P到点A（2，3）的距离与P到该抛物线准线的距离之和等于点P到点A（2，3）的距离与P到焦点F的距离之和，
当且仅当三点A、P、F共线时，点P到点A（2，3）的距离与P到该抛物线准线的距离之和最小，
此时，最小值为|AF|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-0）^{2}}=\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查抛物线的定义，考查求距离和，解题的关键是点P到点A（2，3）的距离与P到该抛物线准线的距离之和转化为点P到点A（2，3）的距离与P到焦点F的距离之和，属于中档题．