Question

6．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），且当x∈[2，4]时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x，2≤x≤3\\ \frac{{{x^2}+2}}{x}，3＜x≤4\end{array}\right.$，g（x）=ax+1，对?x₁∈[-2，0]，?x₂∈[-2，1]，使得g（x₂）=f（x₁），则实数a的取值范围为（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{1}{8}}）∪[{\frac{1}{8}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{1}{4}，0}）∪（{0，\frac{1}{8}}]$
• C． （0，8]
• D． $（{-∞，-\frac{1}{4}}]∪[{\frac{1}{8}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出f（x）在[2，4]上的值域，利用f（x）的性质得出f（x）在[-2，0]上的值域，再求出g（x）在[-2，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围．

解答 解：∵f（x）在[2，3]上单调递减，在（3，4]上单调递增，
∴f（x）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4]上的值域为（$\frac{11}{3}$，$\frac{9}{2}$]，
∴f（x）在[2，4]上的值域为[3，$\frac{9}{2}$]，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$f（x+4），
∴f（x）在[-2，0]上的值域为[$\frac{3}{4}$，$\frac{9}{8}$]，
当a＞0时，g（x）为增函数，g（x）在[-2，1]上的值域为[-2a+1，a+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}≥-2a+1}\\{\frac{9}{8}≤a+1}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{8}$；
当a＜0时，g（x）为减函数，g（x）在[-2，1]上的值域为[a+1，-2a+1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}≥a+1}\\{\frac{9}{8}≤-2a+1}\end{array}\right.$，解得a≤-$\frac{1}{4}$；
当a=0时，g（x）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；
综上，a的范围是a≥$\frac{1}{8}$或a≤-$\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．