Question

16．已知函数f（x）=x³+x．
（1）求函数g（x）=f（x）-4x的单调区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数F（x）=f（x）-ax²在（0，3]上递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程，求出三角形的面积即可；
（3）问题转化为2a≤（3x+$\frac{1}{x}$）_min，根据不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）g（x）=x³-3x，g′（x）=3（x+1）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令g′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故g（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）f′（x）=3x²+1，f（1）=2，f′（1）=4，
故切线方程是：y-2=4（x-1），即y=4x-2，
令x=0，解得：y=-2，令y=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，
故S_△=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由题意得F′（x）=3x²+1-2ax≥0在（0，3]恒成立，
故2a≤（3x+$\frac{1}{x}$）_min，
∵3x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{3}$，∴2a≤2$\sqrt{3}$，a≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查切线方程问题，是一道中档题．