Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．当x∈[

π

12

，

π

2

]时，则 f（x）的值域为（　　）

A．[-2，2]

B．[-2，1]

C．[-1，2]

D．[-1，1]

Answer 1

分析：由题意得A=2，由周期，可求ω，则有f（x）=2sin（2x+φ），然后将M（

2π

3

，-2）代入结合已知φ的范围，可求φ，从而可求函数f（x）的表达式，由x的范围可求ωx+φ的范围，结合正弦型函数的性质可求函数函数的值的范围．

解答：解：由题意得A=2，周期T=

2π

ω

=π，得ω=2，此时f（x）=2sin（2x+φ），
将M（

2π

3

，-2）代入上式得-2=2sin（

4π

3

+φ），
即sin（

4π

3

+φ）=-1，0＜φ＜

π

2

，
解得φ=

π

6

，所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
因为x∈[

π

12

，

π

2

]，所以

π

3

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
所以，当且仅当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，sin（2x+

π

6

）=1，
即有f（x）的最大值为2．
当且仅当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，sin（2x+

π

6

）=-1，
即有f（x）的最小值为-1．
所以函数的值域为[-1，2]．
故选C．

点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数的值的范围的求法，考查运算求解的能力．