Question

若关于x的不等式x²-（a²+a）x+a³≥0对一切a∈[-2，

2

]都成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：二次函数f（x）=（x-a）（x-a²），①当a=a²，即 a=0，或 a=1，检验满足条件．当②a＞a² 或③当a²＞a时，检验不满足条件，从而得出结论．

解答： 解：二次函数f（x）=x²-（a²+a）x+a³=（x-a）（x-a²），
①当a=a²，即 a=0，或 a=1，
若a=0，则f（x）=x²≥0恒成立．
若a=1，f（x）=（x-1）²≥恒成立．
②a＞a²，即0＜a＜1时，关于x的不等式f（x）=（x-a）（x-a²）≥0的解集为
{x|x≤a²，或 x≥a }，不满足在a∈[-2，

2

]上f（x）≥0恒成立．
③当a²＞a时，即a＜0，或a＞1时，关于x的不等式f（x）=（x-a）（x-a²）≥0的解集为
{x|x≤a，或 x≥a²}，不满足在a∈[-2，

2

]上f（x）≥0恒成立．
综上可得，a=0，或 a=1．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．