Question

20．已知集合A={x|x²-10x+16≤0}，$B=\left\{{x\left|{\frac{x-1}{x-6}＜0}\right.}\right\}$，C={x|x＞a}，全集U=R．求：
（1）求A∪B          
（2）（∁_UA）∩B
（3）若A∩C≠∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出集合A中不等式的解集，确定出集合A，找出既属于A又属于B的部分，即可求出两集合的并集；
（2）由全集U=R，找出不属于A的部分，求出B的补集，找出B与A补集的公共部分，即可确定出所求的集合；
（III）由集合A与C，且两集合的交集不为空集，即可求出a的范围．

解答 解：（1）由集合A中的不等式x²-10x+16≤0，变形得：（x-2）（x-8）≤0，
解得：2≤x≤8，
∴A=[2，8]，
由$\frac{x-1}{x-6}$＜0，变形得（x-1）（x-6）＜0，
解得1＜x＜6，
∴B=（1，6），
∴A∪B=（1，8]；
（2）∵A=[2，8]，全集U=R，
∴C_UA=（-∞，2）∪[（8，+∞），
又B=（1，6），
∴（C_UA）∩B=（1，2）
（3）∵A=[2，8]，C={x|x＞a}=（a，+∞），且A∩C≠∅，
∴a＜8．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．