Question

已知两条直线l₁：y=m和l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），l₁与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点A、B，l₂与函数y=|log₂x|的图象从左至右相交于点C、D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b．当m变化时，求

b

a

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意写出x_A=(

1

2

)m，x_B=2^m，x_C=(

1

2

)

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

，从而得到a=|x_A-x_C|=|(

1

2

)m-(

1

2

)

8

2m+1

|，b=|x_B-x_D|=|2^m-2

8

2m+1

|，化简

b

a

=|

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

|=2

8

2m+1

•2^m=2

8

2m+1

+m，转化为讨论

8

2m+1

+m的最值即可．

解答： 解：由题意得x_A=(

1

2

)m，x_B=2^m，x_C=(

1

2

)

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

，
所以a=|x_A-x_C|=|(

1

2

)m-(

1

2

)

8

2m+1

|，
b=|x_B-x_D|=|2^m-2

8

2m+1

|，
即

b

a

=|

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

|=2

8

2m+1

•2^m=2

8

2m+1

+m．
因为

8

2m+1

+m=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥4-

1

2

=

7

2

，
当且仅当

1

2

（2m+1）=

8

2m+1

，即m=

3

2

时取等号．
所以，

b

a

的最小值为2

7

2

=8

2

．

点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意等号成立的条件，属于中档题．