Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列{a_n²}的前n项和为T_n，求$\frac{{S}_{2n}}{{T}_{n}}$．
（3）判断数列{3ⁿ-a_n}中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-2，n∈N^*，可得当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简即可得出．
（2）利用等比数列的前n项和公式可得S_n，利用等比数列的通项公式可得${a}_{n}^{2}$，即可得出数列{a_n²}的前n项和为T_n．
（3）假设数列{3ⁿ-a_n}中存在三项成等差数列，由3ⁿ-a_n=3ⁿ-2ⁿ．分别设为第s，k，m项，1≤s＜k＜m．则2（3^k-2^k）=3^s-2^s+3^m-2^m，化为：3^k（3^m-k-2）+3^s=2^s+2^k（2^m-k-2），比较左边右边大小关系即可得出结论．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，n∈N^*，∴当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2（2ⁿ-1）．
${a}_{n}^{2}$=4ⁿ，
∴数列{a_n²}的前n项和为T_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{3}$．
∴$\frac{{S}_{2n}}{{T}_{n}}$=$\frac{2（{4}^{n}-1）×3}{4（{4}^{n}-1）}$=$\frac{3}{2}$．
（3）假设数列{3ⁿ-a_n}中存在三项成等差数列，由3ⁿ-a_n=3ⁿ-2ⁿ．
分别设为第s，k，m项，1≤s＜k＜m．
则2（3^k-2^k）=3^s-2^s+3^m-2^m，
化为：3^k（3^m-k-2）+3^s=2^s+2^k（2^m-k-2），
显然左边大于右边，因此不成立，
故数列{3ⁿ-a_n}中不存在三项成等差数列，因此假设不成立．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、大小关系比较，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．