Question

设点A、B是抛物线y²＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

Answer 1

解　设直线OA的方程为y＝kx (k≠±1，因为当k＝±1时，直线AB的斜率不存在)，则直线OB的方程为y＝－，

将①②相乘，得y²＋4pky＝－x(x－4pk²)，

即x²＋y²＝－4pky＋4pk²x＝4p(k²x－ky)，③

又k²x－ky＝x，代入③式并化简，

得(x－2p)²＋y²＝4p².

当k＝±1时，易求得直线AB的方程为x＝4p.

故此时点M的坐标为(4p,0)，也在(x－2p)²＋y²＝4p² (x≠0)上．

∴点M的轨迹方程为(x－2p)²＋y²＝4p² (x≠0)，

∴其轨迹是以(2p,0)为圆心，半径为2p的圆，去掉坐标原点．