Question

14．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，O为坐标原点，点M，N是双曲线C上异于顶点的关于原点对称的两点，P是双曲线C上任意一点，PM，PN的斜率都存在，则k_PM•k_PN的值为（　　）

• A． $\frac{a^2}{b^2}$
• B． $\frac{b^2}{a^2}$
• C． $\frac{b^2}{c^2}$
• D． 以上答案都不对

Answer 1

分析 利用直线的离心公式，作差法，即可取得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，即k_PM•k_PN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．

解答 解：由题意，设M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），则N（-x₁，-y₁）
∴k_PM•k_PN=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$，
$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1$，②$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1$，①
∴②-①可得$\frac{{y}_{2}^{2}-{y}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
故k_PM•k_PN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，直线的斜率公式，点差法的应用，属于基础题．