Question

20．如图，四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．
（1）求证：GF∥底面ABC；
（2）若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理，证明GF平行于平面ABC内的一条直线AC即可；
（2）根据面面平行的判定定理，因为GF∥平面ABC，只要证明FP∥平面ABC，问题得以解决．

解答 解：（1）证明：连接AE，由F是线段BD的中点得F为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC，
又∵AC?平面ABC，GF?平面ABC
∴GF∥平面ABC，
（2）平面GFE∥平面ABC，
证明如下：
∵F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，
∴FP∥BC，
又∵BC?平面ABC，FP?平面ABC，
∴FP∥平面ABC，
又GF∥平面ABC，FP∩GF=F，FP?平面FPG，GF?平面FPG
∴平面GFP∥平面ABC．

点评 本题考查了直线与平面平行，平面与平面平行的判断问题，关键是掌握定理，属于中档题．