Question

8．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
• D． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，3]

Answer 1

分析 由向量数量积的定义和性质，可得（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，再由基本不等式可得0＜|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≤$\frac{1}{3}$，即可得到所求范围．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$夹角为120°，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=1，
即有（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=$\overrightarrow{a}$²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos120°+$\overrightarrow{b}$²
=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≥2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|=3|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|，
即有0＜|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|≤$\frac{1}{3}$，当且仅当|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，取得等号．
则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos120°}$=$\sqrt{1-2|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$，
即有$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜1．
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．