Question

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，且f（2）=4，则不等式f（x）-$\frac{8}{x}$＞0的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，2）
• C． （0，4）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 构造已知条件，f（x）-$\frac{8}{x}$＞0可得$\frac{8-xf（x）}{x}＜0$，f（2）=4，则2f（2）=8，带入即可得到答案．

解答 解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：$\frac{{x}_{1}f（{x}_{1}）-{x}_{2}f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．
∵f（2）=4，则2f（2）=8，
f（x）-$\frac{8}{x}$＞0化简得$\frac{8-xf（x）}{x}＜0$，
当x＜2时，
$\frac{8-xf（x）}{x}＜0$⇒$\frac{2f（2）-xf（x）}{2-x}＜0$成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f（x）-$\frac{8}{x}$＞0的解集为（0，2）．
故选B．

点评 本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．