Question

已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性，并证明之；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明之．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=y=0求得f（0）=0，令y为-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可判断f（x）的单调性，在R上任取x₁，x₂，且令△x=x₁-x₂＞0，可证得△y=f（x₁）-f（x₂）＜0，问题得到解决．

解答：解 （Ⅰ）函数f（x）为奇函数．…（2分）
证明：∵函数f（x）的定义域为R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y为-x，
则有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分）
又将x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x），
又由x在R中的任意性可知，函数f（x）为奇函数．…（6分）
（Ⅱ）函数f（x）在R上为单调减函数…（8分）
证明：在R上任取x₁，x₂，且令△x=x₁-x₂＞0，
由△y=f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）=f（△x）+f（x₂）-f（x₂）=f（△x）…（10分）
又由题可知当x＞0，f（x）＜0，故f（△x）＜0，从而△y＜0，
这样就说明了函数f（x）在R上为单调减函数．…（12分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于△y=f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）的转化，突出考查转化思想与综合应用单调性定义解决问题的能力，属于中档题．