Question

11．在△ABC中，sin²A十sin²B十sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，则△ABC的形状是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 锐角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 正三角形

Answer 1

分析 由于sin²A+sin²B+sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，利用正弦定理可得：a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$absinC，由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，利用sin²C+cos²C=$\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）^{2}}{12{a}^{2}{b}^{2}}$+$\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{4{a}^{2}{b}^{2}}$=1，化简即可得出．

解答 解：∵sin²A+sin²B+sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinBsinC，
由正弦定理可得：a²+b²+c²=2$\sqrt{3}$absinC，
由余弦定理可得：a²+b²-c²=2abcosC，
∴sin²C+cos²C=$\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}）^{2}}{12{a}^{2}{b}^{2}}$+$\frac{（{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}）^{2}}{4{a}^{2}{b}^{2}}$=1，
化为（a²-b²）²+（b²-c²）²+（a²-c²）²=0，
∴a=b=c．
∴△ABC是正三角形．
故选：D．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．