Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-1与x=

2

3

处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若当x∈[-1，2]时恒有f（x）＜c²+3c成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=3x²+2ax+b，由f′(-1)=f′(

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)=0解a，b的值；
（2）由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-

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）；从而由导数求单调区间；
（3）由（2）可知f（x）在x∈[-1，2]的最大值在f（-1），f（2）中产生，从而化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b；
则f′(-1)=f′(

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)=0解得，
a=

1

2

，b=-2；
（2）由题意，f′（x）=3（x+1）（x-

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）；
故当x∈（-∞，-1）∪（

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，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（-1，

2

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）时，f′（x）＜0；
故f(x)在(-∞，-1)，(

2

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，+∞)上递增，在(-1，

2

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)上递减；
（3）由（2）可知f（x）在x∈[-1，2]的最大值在f（-1），f（2）中产生，
又∵f(-1)=

3

2

+c＜f(2)=8+c；
∴8+c＜c²+3c，
解得：c＞2或c＜-4．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．