Question

已知函数

（1）若在上是增函数，求的取值范围；

（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；

（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.

规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：① 求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.

试题解析:（1）

因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，

∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．

设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max＝，∴b≥.

（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.

x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可

因f′(x)＝3x2－x－2，

令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.

∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，

∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，

∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，

所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).

考点：1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.