Question

已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
①求f（0）；
②求证：f（x）为奇函数；
③求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），
变形可得f（0）=0
②证明：因为x，y∈R时，f（x+y）=f（x）+f（y），
令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）
所以f（-x）=f（x）
所以f（x）为奇函数．
③设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）
因为x＞0时f（x）＜0，所以f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
所以f（x）为减函数．
所以f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3），最小值为f（3）．
因为f（3）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，
所以函数在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6．
分析：①在f（x+y）=f（x）+f（y）中，用特殊值法，令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0），变形可得f（0）的值；
②在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，变形可得f（x）+f（-x）=f（0），由①的结论，即可得答案；
③设设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，结合②的结论，有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）成立，结合题意，可得f（x）为减函数，即可得f（x）在[-3，3]上的最大值与最小值分别为f（3）、f（-3），借助f（x+y）=f（x）+f（y）与f（1）的值，可得f（3）、f（-3）的值，即可得答案．
点评：本题考查抽象函数的运用，涉及函数奇偶性、单调性的判断与应用，难点在于根据f（x+y）=f（x）+f（y），运用特殊值法，分析得到函数f（x）的性质以及函数值．