Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，长轴A₁A₂，短轴B₁B₂，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为$4\sqrt{3}$．
（I）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于P、Q，直线A₁P与A₂Q交于M，A₁Q与A₂P交于N．
（i）证明：MN⊥x轴，并求直线MN的方程．
（ii）证明：以MN为直径的圆过右焦点F．

Answer 1

分析 （I）利用椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，长轴A₁A₂，短轴B₁B₂，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为$4\sqrt{3}$，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）（i）设l的方程为x=my+1，代入椭圆方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，求出x_M=4，x_N=4，即可在哪MN⊥x轴，直线MN的方程为x=4；
（ii）证明FM⊥FN，得出以MN为直径的圆过定点F．

解答 解：（I）∵$e=\frac{1}{2}$，∴$\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}即\frac{b}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵${S_{{A_1}{B_1}{A_2}{B_2}}}=4\sqrt{3}∴ab=2\sqrt{3}$------------------------------------（2分）
∴$a=2，b=\sqrt{3}$，椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$---------------------（4分）
（Ⅱ）（i）证明：F（1，0），设l的方程为x=my+1，代入椭圆方程得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
直线A₁P：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），直线A₂Q：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
联立，代入计算可得x_M=4，
同理可得：x_N=4，MN⊥x轴，直线MN的方程为x=4…（10分）
（ii）$M（{4，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}}），N（{4，\frac{{6{y_2}}}{{{x_2}+2}}}）$．
$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}=9+\frac{{36{y_1}{y_2}}}{{（{{x_1}+2}）（{{x_2}+2}）}}=9+\frac{{36{y_1}{y_2}}}{{（{m{y_1}+3}）（{m{y_2}+3}）}}$$\begin{array}{l}=9+\frac{{36{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}+3m（{{y_1}+{y_2}}）+9}}=9+\frac{{36×\frac{-9}{{3{m^2}+4}}}}{{\frac{{-9{m^2}}}{{3{m^2}+4}}+3m\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}+9}}\\=9-\frac{36×9}{{-9{m^2}-18{m^2}+27{m^2}+36}}=0\end{array}$…（13分）
∴FM⊥FN，∴以MN为直径的圆过定点F．…（14分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．