Question

9．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，过B₁作B₁E⊥BD₁于点E，则A、E两点之间的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．

Answer 1

分析 建立坐标系，设$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{B{D}_{1}}$，根据B₁E⊥BD₁计算λ，得出$\overrightarrow{AE}$的坐标，从而计算出|AE|．

解答 解：以B₁为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则B₁（0，0，0），A（a，0，a），B（0，0，a），D₁（a，a，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（a，a，-a），$\overrightarrow{{B}_{1}B}$=（0，0，a），
设$\overrightarrow{BE}=λ\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（λa，λa，-λa），∴$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=$\overrightarrow{{B}_{1}B}$+$\overrightarrow{BE}$=（λa，λa，a-λa），
∵B₁E⊥BD₁，∴$\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0，
∴λa²+λa²-a²+λa²=0，∴λ=$\frac{1}{3}$．
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{1}{3}$a，$\frac{1}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$a，-$\frac{1}{3}$a），
∴|AE|=|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{\frac{4{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}+\frac{{a}^{2}}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
故答案为$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．

点评 本题考查了空间距离的计算，属于中档题．