Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n是数列{a_n}的前n项和，且4S_n=a_n²+2a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=2ⁿ-a_n，求b_n的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于4S_n=a_n²+2a_n-3，可得当n=1时，4a₁=

a

2 1

+2a₁-3，解得a₁．当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-3-(

a

2 n-1

+2an-1-3)，可得a_n-a_n-1=2．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=2ⁿ-a_n=2ⁿ-（2n+1），再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n-3，
∴当n=1时，4a₁=

a

2 1

+2a₁-3，解得a₁=3或-1，其中a₁=-1舍去．
当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-3-(

a

2 n-1

+2an-1-3)，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，其通项公式a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）b_n=2ⁿ-a_n=2ⁿ-（2n+1），
b_n的前n项和T_n=

2(2n-1)

2-1

-

n(3+2n+1)

2

=2ⁿ⁺¹-2-n²-2n．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．