Question

11．已知函数f（x）=sinωxcosωx-$\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（ω＞0）图象的两条相邻对称轴为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数y=f（x）的对称轴方程；
（2）若函数y=f（x）-$\frac{1}{3}$在（0，π）上的零点为x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据两条相邻对称轴为$\frac{π}{2}$．求解出ω，即可求解对称轴方程．
（2）利用零点为x₁，x₂，求解x₁，x₂的对称轴．即可求cos（x₁-x₂）的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=sinωx•cosωx-\sqrt{3}{cos^2}ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
化简可得f（x）=$\frac{1}{2}sin2ωx-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2ωx$=$sin（2ωx-\frac{π}{3}）$
由题意可得周期T=π，
∴$ω=\frac{2π}{T}=2$
∴$f（x）=sin（4x-\frac{π}{3}）$
故函数y=f（x）的对称轴方程为$4x-\frac{π}{3}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$
即$x=\frac{kπ}{4}+\frac{5π}{24}（k∈Z）$
（2）由函数y=f（x）-$\frac{1}{3}$在（0，π）上的零点为x₁，x₂，
可知$sin（2{x_1}-\frac{π}{3}）=sin（2{x_2}-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}＞0$，
且$0＜{x_1}＜\frac{5π}{12}＜{x_2}＜\frac{2π}{3}$．
易知（x₁，f（x₁））与（x₂，f（x₂））关于$x=\frac{5π}{12}$对称，
则${x_1}+{x_2}=\frac{5π}{6}$，
∴$cos（{x_1}-{x_2}）=cos[{x_1}-（\frac{5π}{6}-{x_1}）]=cos（2{x_1}-\frac{5π}{6}）$=$cos[（2{x_1}-\frac{π}{3}）-\frac{π}{2}）]=sin（2{x_1}-\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$=sin（2${x}_{1}-\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．