Question

（本小题满分13分）定义在上的函数同时满足以下条件:

①在上是减函数,在上是增函数；

②是函数的导函数且是偶函数；

③在处的切线与直线垂直．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数,若存在,使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2） ．

【解析】

试题分析：（1），

∵ 在上是减函数,在上是增函数,

∴， ①

由是偶函数得:， ②

又在处的切线与直线垂直,

∴， ③

由①②③得:,即；

（2）由已知得:若存在,使,

即存在,使,

设,

则

令=0,∵,∴

当时,,∴在上为减函数 ．

当时,,∴在上为增函数 ．

∴在上的最小值为，中较小者．

而，．即最小值为,

于是有为所求．

考点：考查了函数的性质，利用导数研究函数的最值，不等式能成立问题．