Question

在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，

AB

=4

MB

，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．
（1）证明：面PAB⊥面ABCD；
（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明PM⊥面ABCD，且PM?面PAB，可得面PAB⊥面ABCD；
（2）过点M作MH⊥CD，连结HP，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角，即可求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，
又因为PM⊥CD，且AB，CD相交，
所以PM⊥面ABCD，且PM?面PAB．
所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）
（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，
因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，
所以CD⊥平面PMH，又由CD?平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，
平面PMH⊥平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，
连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角． …（10分）
在四棱锥P-ABCD中，设AB=2t，
则DM=

13

2

t，PM=

3

2

t，MH=

7 5

10

t，∴PH=

4 5

5

t，MN=

7 3

16

t，
从而sin∠MDN=

MN

DM

=

7 39

104

，…（13分）
即直线DM与平面PCD所成角的正弦值为

7 39

104

．…（14分）

点评：本题考查线面、面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．